TRABAJO FINAL
SECUENCIA
DIDÁCTICA: FUNCIÓN EXPONENCIAL
La función exponencial
es muy importante en matemáticas. Es
la función con más presencia en los fenómenos observables. Así presentan
comportamiento exponencial: la reproducción de una colonia de bacterias, la
desintegración de una sustancia radiactiva, algunos crecimientos
demográficos, la inflación, la capitalización de un dinero colocado a interés
compuesto, etc.
|
Curso: 5° año del nivel secundario
Asignatura: Matemática
PROPÓSITOS:
v
Proveer
a los alumnos una visión integrada de la matemática para reconstruir en el aula
el "quehacer" de la disciplina, mediante situaciones reales que
requieran funciones exponenciales y su estudio completo
v
Fomentar
la apreciación de los recursos tecnológicos para profundizar y enunciar
conjeturas, promoviendo el trabajo colaborativo en la resolución de situaciones
problemáticas y verificación de resultados.
OBJETIVOS:
Que los alumnos:
v
Modelicen
situaciones reales mediante funciones exponenciales.
v
Identifiquen
su dominio e imagen, así como la interpretación de su crecimiento o
decrecimiento, pudiendo elaborar conclusiones acerca de los mismos y sus
desplazamientos.
v
Anticipen
y exploren el comportamiento de las funciones exponenciales mediante el uso del
software Geogebra.
v
Colaboren
y trabajen en red a través del grupo cerrado en Facebook y Google Drive.
CONTENIDOS:
v
Concepto
y visión integrada de la función exponencial.
v
Dominio,
imagen, variables, asíntotas.
v
Representaciones:
Fórmulas, tablas y gráficos cartesianos.
v
Crecimientos
y Decrecimientos.
v
Análisis
de gráficos y de las distintas representaciones y su relación con el problema.
v
Desplazamientos
verticales y horizontales.
v
SABERES PREVIOS NECESARIOS:
En relación con la
disciplina:
v
Lectura
e interpretación de gráficos.
v
Funciones:
concepto, distintas representaciones
(gráficas, tablas, fórmulas)
v
Interpretación
de fórmulas que modelizen variaciones lineales y no lineales.
v
Dominio
e Imagen
v
Ceros,
puntos máximos y mínimos, crecimientos y decrecimientos
v
Intervalos
en la recta.
En relación con las TIC:
v
Gráficos
de funciones con Geogebra: Diferentes vistas. Introducción de fórmulas.
Utilización de las herramientas básicas. Puntos libres. Deslizadores. Menú
contextual, etc.
v
Trabajo
colaborativo con Google Drive.
v
Utilización
correcta de la Red Social Facebook (grupo cerrado), como plataforma educativa.
ACTIVIDADES
ENCUENTRO 1: “Creciendo
exponencialmente”
Tiempo
previsto: Sin
límite durante 5 días (en cualquier
lugar) + 80 minutos en clase
ACTIVIDAD de Inicio:
Tiempo
parcial: sin límite durante 5 días
Se
comenzará con la invitación virtual, por el grupo cerrado de Facebook, a leer
la siguiente propuesta conocida como
la leyenda del tablero de ajedrez.
“La
trampa del damero”
Cuenta la leyenda que un Rey quiso premiar a un súbdito con lo que
deseara por enseñarle a jugar al ajedrez. El súbdito le pidió la cantidad de
granos de arroz que resultara de poner un grano en la primera casilla, dos en
la segunda, cuatro en la tercera, es decir doblando la cantidad de granos de
arroz hasta completar los sesenta y cuatro casilleros del damero. El Rey se
sonrió ante la aparentemente modesta petición del súbdito y le invitó a
cambiarla por otra pero este insistió. Cuando todavía no se había completado la
mitad del tablero los graneros del reino quedaron vacíos. Entonces comprendió
que no podría satisfacer la deuda contraída con su súbdito.
Intervención y preguntas posibles
del docente:
- ¿Será cierta la conclusión a
la que llega el Rey?
- ¿Pueden calcular cuántos granos de arroz
habrá en cada casilla?
- ¿Cuántos granos en total
habrá acumulado cuando se llegue a la casilla N°10?
- Deben participar y discutir los
resultados con un mínimo de dos comentarios por alumno.
- Se les solicita que anoten
en la carpeta los resultados para el próximo encuentro en clase.
Apropiándonos
de la "ubicuidad" que nos da esta herramienta, se harán comparaciones
y reflexiones incentivándolos al trabajo colaborativo. El docente intervendrá
de acuerdo a las participaciones y a las discusiones posibles que surjan en
el foro del grupo.
Actividad de desarrollo (en clase)
Tiempo
parcial: 60´
Después
de trabajarlo virtualmente, en el 1° encuentro en clase, se dará lectura al
problema de la leyenda del tablero de ajedrez, (El docente llevará una tabla de
ajedrez y un paquete de arroz, y con la colaboración de algunos alumnos
realizará la experiencia), exponiendo
en el pizarrón los resultados obtenidos por los alumnos, en tablas similares a las siguientes:
Tabla 1
n (número de casillero)
|
G
(granos de arroz por casillero)
|
1
|
1
|
2
|
2
|
3
|
4
|
|
|
Tabla 2
n
(número de casillero)
|
Ga (granos acumulados)
|
1
|
1
|
2
|
1+2= 3
|
3
|
1+2+4=
7
|
|
|
|
|
La
intencionalidad de esta propuesta es lograr que el alumno observe el crecimiento planteado en la propuesta, confirmando lo ya
compartido en Facebook.
Luego
divididos en grupos de no más de cuatro alumnos, se les pedirá que
formulen una expresión algebraica que nos permita calcular directamente los
granos de arroz que habrá en cada casillero y el acumulado:
·
¿Podrían
definir alguna ley que relacione la cantidad de arroz “A” obtenida en cada
casillero y el número “n” de casillero?
·
Y si quisiera saber los granos totales
acumulados “Ga” en cada casillero: ¿cómo
cambiaría la relación anterior?
Cada
grupo comienza con la búsqueda de las relaciones. El docente recorre el aula
observando y escuchando sin intervenir, salvo que surjan dudas con la consigna.
Actividad de cierre (puesta en común)
Tiempo
parcial: 20´
El
docente organiza la puesta en común, pidiéndole a un representante de cada
grupo que pase al pizarrón y anoten sus fórmulas. Los alumnos deberán
relacionar dichas fórmulas con los valores de las tablas.
Las
posibles preguntas serán orientadoras en
el caso que las fórmulas encontradas no sean las correctas.
(Por
ejemplo: suelen cometer el error de pensar en A=2^n, el docente guiará para que
tengan en cuenta que n no puede ser cero, ya que se trata del número de
casillero).
Una vez
encontrada la fórmula correcta, el docente explicará que se trata de una
relación que estudiaremos y preguntará:
·
¿Esta
relación, es una función? ¿Se trata de una función lineal? ¿De una función
cuadrática? ¿Su gráfica será una curva?
·
Para
responder a esta última pregunta es
necesario graficar, por lo que se le pedirá de tarea para la próxima clase:
representar ambas situaciones con el
graficador Geogebra, utilizando la herramienta desde “entrada” y subir los
archivos al grupo cerrado de Facebook para compartirlo.
·
Se
les pedirá que traigan sus computadoras y
con la precaución de tener la batería con carga suficiente para trabajar
sin inconvenientes y así deberá ser durante las restantes clases.
Recursos: Netbook, Internet, lápiz,
papel, pizarra, (arroz y tabla de ajedrez)
Evaluación:
La participación
en el grupo cerrado de Factbook por parte de los alumnos y sus aportes.
Las
intervenciones del docente con preguntas, tanto en la red como en la clase
ayudarán a discutir y conjeturar
a los alumnos.
ENCUENTRO 2: “No linealidad”
Tiempo previsto:
80´
Actividad de inicio
Tiempo
parcial: 15´
- El docente retoma el tema,
pidiendo que enciendan sus computadoras e inicien el programa GeoGebra,
felicitando a los alumnos por participar en la red con los archivos de las
gráficas obtenidas.
- Revisa los gráficos de
alumnos que no hubieran
publicado sus gráficos.
- Retoma la última pregunta
que muchos respondieron en el grupo de
Facebook: ¿Su gráfica será una curva?
- El docente explica que van a
trabajar con funciones cuya representación gráfica es muy diferente a las
anteriormente estudiadas (lineal y cuadrática), al igual que la ley que relaciona a las magnitudes
intervinientes y que para profundizar en sus características y propiedades
abordaremos otras dos situaciones problemáticas más, que analizarán y
resolverán en grupos.
Actividad de
desarrollo
Tiempo
previsto: 45´
·
Se
da inicio a las actividades entregando a cada grupo (no más de cuatro) una
fotocopia con dos problemas: tres grupos resolverán el problema 1 y otros tres,
el problema 2.
Problema 1: En la actualidad, la mayoría de las entidades
financieras trabajan dando un interés compuesto sobre los depósitos.
Sintéticamente, esto significa que los intereses se acoplan al capital y
también generan intereses. El caso que vamos a considerar es un banco que
otorga intereses en forma tal que el capital depositado se duplica al cabo de
cada año transcurrido. Supongan que una persona deposita $1 en este banco y que
no hace ningún retiro.
a) Completen siguiente tabla
y realicen el gráfico en GeoGebra, con los valores obtenidos.
Tiempo
transcurrido (años)
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
Dinero acumulado
($)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) Encuentren una fórmula que permita calcular el dinero acumulado
“D” en función del tiempo transcurrido “t”.
c) ¿Al cabo de cuánto tiempo se llegan a acumular $256?
d) ¿Cuánto dinero se acumula al transcurrir 10 años?
e) ¿Y si comienza depositando $1000, cuánto dinero tendrá a los 3
años? ¿Y a los 6 años?
f) Teniendo en cuenta el apartado anterior ¿Cómo cambiaría la relación
obtenida en el punto b? Escríbanla.
Problema 2:
Existen sustancias
químicas que en condiciones normales de presión y temperatura se evaporan.
Tenemos 4 litros de una sustancia líquida que evapora en forma continua la
mitad de su volumen por hora.
a) Completen la siguiente tabla y realicen el gráfico en GeoGebra, con los valores
obtenidos.
Tiempo (h)
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
Volumen de
líquido (l)
|
|
|
|
|
|
|
b) Encuentren una expresión que relacione el volumen del líquido
“V” con el tiempo transcurrido “t”.
c) ¿Al cabo de cuánto tiempo quedarían 0,0625 litros de líquido?
d) ¿Qué volumen de líquido quedaría luego de un día entero?
e) Teniendo en cuenta la relación obtenida en b, y el gráfico en
Geogebra, ¿pueden decir si existe un momento en el que el líquido sea cero?
Justifiquen la respuesta.
·
El docente lee los dos problemas con todos los grupos para
asegurarse la comprensión de los mismos por parte de todos los alumnos. Se
aclaran posibles dudas relacionadas con la comprensión de la consigna de
trabajo.
·
Se solicita a los alumnos que resuelvan los problemas en la carpeta,
y el gráfico en GeoGebra.
·
Mientras los alumnos trabajan en grupo, el docente recorre el aula
observando el desempeño de todos.
·
Algunas intervenciones del docente y dirigida hacia toda la clase:
“tengan en cuenta en dichas relaciones distinguir a la magnitud independiente
de la dependiente para facilitar su estudio”
·
Al momento de construir las gráficas, representan los pares de
valores obtenidos y utilizando la función “cónicas dados 5 puntos”, obtienen la
representación gráfica.
·
El docente les pide a los alumnos que con un clic derecho sobre la
expresión obtenida> propiedades del objeto> álgebra y ecuación, se
observará la forma generalizada de la función.
·
La intencionalidad de esta propuesta es que los alumnos
experimenten, interpreten, comparen y compartan distintas situaciones, pero
detectando que siguen un mismo modelo: el exponencial.
Actividad de cierre
Tiempo parcial: 20´
·
Transcurrido el tiempo anterior, el docente organiza la puesta en
común.
·
Se divide el pizarrón en dos, de tal forma que organizadamente dos
grupos, (uno de cada problema), plasme rápidamente en el pizarrón los
resultados obtenidos.
·
Cada grupo brevemente justificará las respuestas.
·
El docente termina cerrando que dichas situaciones siguen un
modelo, llamado modelo exponencial, diferenciándolo con el modelo cuadrático,
visto en la unidad anterior.
·
El docente les indica que antes de la próxima clase entren al
grupo de Facebook que les compartirá un video de Adrián Paenza, el cual deberán
mirar y escuchar con atención para luego comentar, resaltando lo que más les
impactó.
Recursos: Lápiz, papel,
pizarra, fotocopias con problemas y guía de trabajo, netbook, Geogebra,
internet, grupo cerrado de Factbook, video: crecimiento exponencial de Adrián Paenza.
Evaluación:
El docente evaluará la forma de trabajo colaborativo en cada
grupo, como así también el uso del software.
En la puesta en común en el
pizarrón, los alumnos validarán los resultados obtenidos., defendiendo o
rechazando otros resultados.
El video permite un mejor acceso
a los significados “palabra-imagen-sonido”, desarrollando actitud crítica en el
alumno.
Después de mirar el video
las preguntas estimulan la participación
en los posibles debates que surjan en la red.
ENCUENTRO 3:
Comparando y analizando funciones exponenciales
Tiempo previsto: 80´
Actividad de inicio
Tiempo parcial: 15´
- El
docente comienza la clase pidiendo a un alumno que resuma brevemente lo
visto en el video, y a otro que compare la situación del video con los
problemas resueltos en clase.
- Delineando,
entonces que todos tienen que ver con modelos exponenciales, el docente
les pedirá que grafiquen por “entrada” en Geogebra, las siguientes
funciones básicas, comparándolas y analizándolas repartiendo cada dos
alumnos, una fotocopia con las actividades previstas.
Actividad de
desarrollo
Tiempo parcial: 50´
- Consideren
la función f(x)=2^x y G(x)=
(1/2)^x con dominio en los
Reales (R), representarlas por entrada en Geogebra utilizando distintos colores
para su mejor observación y futuro análisis.
- Completen
el cuadro siguiente:
|
F(x)
|
G(x)
|
Conjunto imagen
|
Imf(x)=
|
Img(x)=
|
¿Es creciente o decreciente?
|
|
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¿Tienen algún punto de contacto con el eje de ordenadas? ¿Cuál?
|
|
|
¿Tienen algún punto de contacto con el eje de abscisas? ¿Cuál?
|
|
|
¿Qué ocurre con la gráfica cuando x toma valores positivos “muy
grandes”
|
|
|
¿Qué sucede con la gráfica
cuando x toma valores negativos cada vez menores?
|
|
|
- ¿Las
gráficas f y g son simétricas? ¿Respecto a qué eje? ¿Qué tienen en común?
- Observando
las gráficas y la tabla de valores vemos que hay un valor que la curva
nunca toma. ¿Cuál es?
- ¿Tienen puntos máximos o
mínimos?
- Graficar las funciones opuestas de
f(x) y g(x), indica simetrías e intervalos de crecimiento.
Actividad de cierre
Tiempo parcial: 15´
- La puesta
en común permitirá conjeturar y concluir entre todos, llegando a la
generalidad de la función exponencial, que el alumno copiará en sus
carpetas:
Llamamos función exponencial
a toda función cuya expresión sea de la forma:
F(x) = k . a^x
- Veamos las condiciones y a qué conjunto numérico pertenecen k y
a: ¿k puede tomar cualquier valor? ¿Podría ser cero? ¿a puede ser
negativo? ¿Puede ser a = 1?
( k ϵ
R; a ϵ R; k ≠ 0 ; a >
0 ; a ≠ 1)
- ¿Qué significado tienen “k” y “a” en una situación
problemática?
- ¿Cuál es el Dominio de estas funciones? ¿Son
crecientes o decrecientes?
- Recordando que una asíntota es una recta a la cual
la curva se aproxima indefinidamente, sin llegar a “tocarla” ¿Cuál es la
asíntota en estas funciones?
El dominio de estas funciones es R. Al representarlas se
obtienen curvas crecientes o decrecientes en todo su dominio, que tienen al eje
de abscisas como asíntota horizontal.
Recursos: Geogebra,
fotocopias con guía de actividades, lápiz, papel, pizarrón.
EVALUACIÓN
FINAL
Se propone la siguiente situación:
En un zoológico, un veterinario que debe medicar a una
cebra enferma prescribe las siguientes instrucciones:
Ø El
medicamento debe ser suministrando durante 10 días.
Ø El
primer día, la dosis debe ser de 200ml.
Ø Cada
día subsiguiente se le debe suministrar 3/5 de la dosis correspondiente al día
anterior.
a) Identificando
a las variables dependiente e independiente, realicen una tabla de valores.
b) Escriban
una ley que relacione a las variables de la situación planteada.
c) ¿Cuál
es la dosis indicada para el octavo día?
d) ¿Cuántos
ml se le habrán dado luego de 5 días?
e) Representar
gráficamente, con GeoGebra, la función y completar:
·
Dominio e imagen de la función
·
La ecuación de la asíntota
·
El intervalo de crecimiento
Bibliografía
General:
